vi devo ringraziare per le visite che sono cresciute a dismisura (mentre scrivo sono 869!). Tutto ciò mi dà una soddisfazione e una gratificazione che mi sprona a fare sempre di più, sempre di meglio. Inoltre, visto il periodo in cui ci troviamo, desidero porgervi i migliori auguri di una Buona Pasqua e vi volevo ricordare che le pubblicazioni, in questi giorni, saranno irregolari, se non assenti. Vi ringrazio di nuovo! A presto!

 Sincerely, Matematiko

oggi continuiamo a trattare numeri pari e dispari, occupandoci della divisione. Intanto, occorre chiarire che il concetto di numero PARI e DISPARI si applica SOLO ai numeri interi (Z). Ben sappiamo che la divisione è un’operazione interna nell’insieme dei numeri razionali (Q), quindi in alcuni casi non otterremo numeri interi che possiamo definire pari o dispari. Ma se ciò accadesse, esaminiamo i casi che si propongono.

• PARI / PARI = ?

2n/2m = n/m

Da ciò si evince che da una divisione di interi pari, il risultato è indecidibile: può essere in alcuni casi PARI, in altri DISPARI.

Il caso DISPARI/PARI, inoltre, non genera MAI un numero INTERO.

Adesso, visto che avete conosciuto l’operatività tra pari e dispari, potete provare a dimostrare i casi DISPARI/DISPARI e PARI/DISPARI. Provate e lasciate un commento della vostra dimostrazione. Spero che tutto ciò vi abbia appassionato.

Sincerely,

Matematiko

continuiamo a occuparci di numeri pari e dispari. Ora dimostriamo cosa nasce dal prodotto nelle sue diverse combinazioni.

• PARI x PARI = ?

2n x 2m = 4nm ed essendo 4 multiplo di 2, allora il numero è PARI.

• PARI x DISPARI = ?

2n x 2m+1 = 4nm+2n = 2(2nm+n) e mi sembra evidente che il risultato è PARI.

• DISPARI x DISPARI = ?

2n+1 x 2m+1 = 4nm+2n+2m+1

Riconosciamo una somma di pari (2n + 2m) e riscriviamola come prodotto:

4nm+2(n+m)+1 che è la forma tipica di un numero DISPARI.

Nella prossima disquisizione ci occuperemo della divisione, che merita una trattazione più approfondita.

Sincerely,

Matematiko

ho intenzione di comunicarvi le mie nuove scelte. Sul sito pubblicherò scritti più tecnici e più ordinati, invece sul blog mi occuperò di curiosità matematiche e argomenti senza curare troppo l’ordine. In questo post, per l’appunto, tratterò delle operazioni con i numeri pari e dispari. Intanto è utile definire che un numero è pari se è un multiplo di 2 (2n). E’ dispari se è uguale a 2n+-1 (+- è uguale a più o meno).

Mi chiedo: ma la loro somma genera un numero pari o dispari? Proviamo a ragionare per l’addizione, ricordando che tali regole sono valide pure per la sottrazione.

• PARI + PARI = ?

Osservate questa dimostrazione:

Siano due numeri pari 2n e 2m, impostiamo la loro somma 2n+2m;

Raccogliamo il 2: 2(n+m)

Il risultato è PARI.

• PARI + DISPARI= ?

2n+2m+1 è già di per sè un numero dispari, senza ulteriori semplificazioni, o al massimo, usando ciò che abbiamo detto prima: (2n+2m)+1 = 2(n+m)+1, quindi

Il risultato è DISPARI.

• DISPARI + DISPARI = ?

(2n+1)+(2m+1) =

2n+1+2m+1=

2(n+m) + (1+1) =

2(n+m) + 2 =

2(n+m+1) che è PARI.

Alla prossima!

Matematiko

purtroppo la mia assenza da questo blog è stata molto lunga. Sapete, gli impegni, i problemi tecnici, i guasti, etc. sono all’ordine del giorno. In questo intervento ho intenzione di ringraziare tutti voi visitatori per l’affluenza al blog (al momento in cui scrivo 729 visite) e vi consiglio, per tenervi aggiornati al meglio, di seguirmi sul mio sito perché è lì che opero maggiormente. Vi ricordo ancora una volta il link: http://matematika.altervista.org e mi auguro di riprendere le pubblicazioni anche qui, sebbene sul mio sito sono più a mio agio. Vi ringrazio ancora e spero di rivedervi presto!

Sincerely,

Matematiko 

auspicando che abbiate trascorso un buon Natale, vi informo che sono ufficialmente riprese le pubblicazioni su questo blog. Inoltre, vi ricordo che ho restaurato il mio sito dove sono anche qui riprese le pubblicazioni. Riprenderemo presto con i nostri discorsi.

Matematiko 

dopo innumerevoli giorni di assenza (per motivi di salute…) sto tirando le somme sull’andamento del blog. Nato ai primi di Novembre, ha sinora raccolto più di 160 visite e pareri favorevoli. Merito, naturalmente di voi lettori. Colgo dunque l’occasione per porvi i più sentiti ringraziamenti e, visto il periodo e l’irregolarità delle prossime pubblicazioni, vi porgo i migliori Auguri per un Lieto Natale ed un Magnifico 2008!!!!!!

Con affetto,

Matematiko

mentre l’altra volta parlavamo della “cassetta degli attezzi” del non-matematico ad un certo punto ci siamo fermati per parlare delle equazioni in modo più approfondito. Non avrete mica pensato che la matematica finisca qui!

Infatti, dopo l’algebra arriva una nuova disciplina, l’Analisi Matematica. Essa si occupa dello studio approfondito delle funzioni, appunto dell’analisi delle funzioni. Come abbiamo fatto per le equazioni, tra non molto ci soffermeremo anche sulle funzioni. Dopodiché, continueremo il nostro viaggio nella matematica.

(immagine della funzione Gamma – Wikipedia)

 Matematiko

dopo la lunga assenza dovuta a problemi tecnici, torno al nostro lavoro. In questo articolo, parleremo di alcuni programmi che ci aiutano nel lavoro matematico grazie al computer. I due programmi standard per matematica e geometria sono DERIVE e CABRI. Ultimamente, però, sono stati sviluppati programmi open source e freeware (che, come sapete, sono i miei prediletti) e il miglior programma di geometria open source è, a mio avviso, GEOGEBRA. Infatti, è una sorta di Cabri molto potenziato, utile sia per le costruzioni sia per lo studio di geometria euclidea, cartesiana e per studi di analisi, come funzioni. Potete effettuare il download gratuito del programma presso il sito http://www.geogebra.org. Se desiderate un parere, vi consiglio di usare Geogebra. E’ leggero, esauriente e completo. Esegue diversi calcoli in automatico ed il prodotto grafico è molto soddisfacente. Negli interventi di questa categoria, pian piano vedremo come disegnare semplici costruzioni e gustarci le meraviglie della geometria.

Matematiko

come promesso, adesso risolveremo e giustificheremo i passaggi di una equazione. Nel titolo, però, ho parlato di I grado ed una incognita. Non spaventatevi! Il grado di una equazione è l’esponente a cui è elevata l’incognita. Nei nostri casi, l’equazione era elevata ad 1, quindi di I grado. L’incognita è una, e noi la chiameremo x.

Pronti? Via!

10x+4(3-2x)+6=15-4x+3(2-x)

1. Svolgiamo i calcoli numerici nelle parentesi, prima da sole e poi inseriamo i risultati nell’equazione:
+4(3-2x) → MOLTIPLICHIAMO OGNI NUMERO DENTRO LA PARENTESI PER +4, ESSENDOCI L’INCOGNITA:
+4(3-2x) = +12-8x
Il risultato dell’incognita è negativo perché il prodotto (o il quoziente) di due numeri con segno diverso (discordi) è sempre negativo. Abbiamo moltiplicato quindi 4(3) e 4(-2x). Calcoliamo ora le altre parentesi:
+3(2-x) = +6-3x

Inseriamo infine i risultati nell’equazione, ottenendo:

10x+12-8x+6=15-4x+6-3x

2. Eseguiamo i calcoli numerici ove possibile;

10x+12-8x+6 =15-4x+6-3x → 10x+18-8x=21-4x-3x

3. Riduciamo i fattori che moltiplicano le incognite (i COEFFICIENTI) ad uno solo, secondo il loro segno:

10x+18-8x=21-4x-3x → 2x+18=21-7x

Il risultato della seconda riduzione è negativo perché la somma algebrica di due numeri negativi è un numero che ha segno negativo e per valore assoluto (modulo) la somma dei valori assoluti (ovvero il numero senza segno, indicabile con |y|).

4. Raggruppiamo le incognite in un membro e tutti gli altri numeri nell’altro, usando le regole pratiche di trasporto; se volete verificare, potete anche provare ad usare i principi di equivalenza:

2x+18=21-7x → 2x+18+7x=21 → 2x+5x=21-18

5. Svolgiamo i calcoli numerici ed i calcoli del coefficiente (il fattore) dell’incognita:

2x+7x=21-18 → 9x=3

6. Portiamo al denominatore del secondo membro il coefficiente di x:

9x=3 → x=3/9 → x=1/3

L’equazione è risolta. Ora sta a voi verificarla. Chi la verifica per primo, può lasciare un commento con il suo valore. Se riscontrate qualche errore nella risoluzione, comunicatemelo per la correzione immediata! Grazie!

Matematiko